Tangencias

 Enlace a trazados de tangencias básicos. 

1) Tangencias.

1.1. Generalidades

Se dice que una recta o circunferencia son tangentes a otra circunferencia, cuando la recta o la circunferencia se cortan en un solo punto. Si la recta o la circunferencia se cortan en dos puntos, se dice que son secantes. Si no la corta en ningún punto será exterior.
Los problemas que se pueden presentar, los podemos agrupar de la forma siguiente:
a)     Rectas tangentes a circunferencias
b)     Circunferencias tangentes a rectas
c)      Circunferencias tangentes a circunferencias.
d)     Circunferencias tangentes a rectas y circunferencias.
En todos los casos debemos de tener en cuenta el número de datos precisos para obtener la solución.
Cuando la solución sea un circunferencia, necesitaremos tres datos. Cuando sea una recta, serán dos.
Una condición puede suplir a un dato. El número de soluciones puede oscilar entre cero y ocho.
Los procedimientos a utilizar en este primer curso, serán principalmente lugares geométricos, dilataciones y potencia.
1.2. Nomenclatura

La nomenclatura que se utilizará para numerar los distintos elementos que intervienen en los problemas de tangencias será la siguiente: Circunferencia O. Puntos de tangencia en la recta T. Punto de tangencia en la circunferencia t. Un punto cualquiera P. radio de la circunferencia r.
1.3. Lugares Geométricos.

Fig. 161

Dada la importancia que presentan los lugares geométricos en la resolución de los problemas de tangencias, se van a describir todos aquellos que utilizaremos a lo largo de los ejercicios que veremos seguidamente.

Número uno. La mediatriz del segmento AB, será el lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias que pasan por los puntos A y B. Fig. 161.

Fig. 162

Número dos: El lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias  tangentes a una recta s en un punto P de ella, es otra recta  t perpendicular a ella en ese punto. Fig. 162.

Número tres: El lugar geométrico de todos los centros de circunferencias O de igual radio  r se encuentra en las rectas t y s, paralelas a la misma a la distancia r. Fig. 163.

Fig. 163

Fig. 164

Número cuatro. El lugar geométrico de todos   los centros de las Circunferencias que son  tangentes a dos rectas que se cortan s y t se encuentra en la bisectriz de las mismas. Fig. 164.

Fig. 165

Número cinco. El lugar geométrico de Todos los centros de las  circunferencias de
radio r que pasan por un punto Q, se  encuentra en una circunferencia de centro  O y de igual radio r.  Fig. 165.

Número seis. El lugar geométrico de todos los centros de circunferencia de radio r1 es otra circunferencia  concéntrica con la primera cuyo  radio es la suma de los radios. r + r1. Fig. 166.

Fig. 166

Número siete: El lugar geométrico de todos los centros de  circunferencias tangentes a otra circunferencias, en un punto de ella, se encuentra en la recta que une el punto de tangencia con el centro de la circunferencia. Fig. 167.

Fig. 167

1.4. Circunferencias tangentes a una recta

a) Circunferencias tangentes a una recta, en un punto de ella y que pasen por un punto exterior. Fig. 168.
Lo resolveremos por lugares geométricos, aplicando el número uno y el número tres.
Sea la recta r y un punto cualquiera P, exterior a ella.

Fig. 168

Tendremos presente que el lugar geométrico de todos las circunferencias que pasan por P y Q estará en la mediatriz del segmento PQ.
El centro de la circunferencia tangente a una recta en un punto de ella,  se encuentra en la perpendicular  trazada a la misma por dicho punto.
El centro buscado será, por tanto donde se encuentren ambas rectas.
b) Circunferencias tangentes a una recta t en un punto de ella   P conocido el radio de la solución r. Fig. 169.

Fig. 169

Lo resolveremos por lugares geométricos.

Sea la recta t y un punto cualquiera en la recta P, el radio de la solución será r.
La circunferencia que pase por el punto P, estará en la perpendicular a la recta t.

Todas las circunferencias de radio r tangentes a la recta t, se encontrarán en una paralela a dicha distancia.
Donde se cortan las rectas paralelas t’- t” y la perpendicular tendremos los centros que se buscan O1 y O2.
1.5. Circunferencias tangentes a dos rectas
a) Circunferencias tangente a dos rectas conocido el punto de tangencia en un de ellas. Fig. 170.
Aplicaremos el lugar geométrico número 4 y 2.

Sean las rectas s, t y el punto de tangencia P.

Fig. 170

El centro que buscamos estará en recta la bisectriz de los ángulos que forman las rectas s y t.

Trazaremos una perpendicular m a la recta s en el punto P.
Donde se encuentren ambas rectas, tendremos los centros O1 y O2.
Los puntos de tangencia T1 y T2, se hallan, trazando perpendiculares a y b por O1 y O2 a la recta t.
b) Circunferencias tangente a dos rectas conocido el radio de la solución. Fig. 171.
Haremos uso del lugar geométrico número tres, que dice: todos los centros de circunferencias de igual radio  r se encuentra en las rectas  s1 y t1, paralelas a la misma y a la distancia r.

Fig. 171

Sean las rectas s, t y el radio de la solución r.
Trazamos dos rectas paralelas a s y t a la distancia r, rectas s1, s’1 y t1, t’1.
El punto donde se corten dichas rectas, nos determinarán los centros de las soluciones O1, O2, O3, O4.
Los puntos de tangencia se hallarán trazando rectas perpendiculares a s y t, por los centros anteriores.
Como puede observarse este ejercicio tiene cuatro soluciones.
1.6. Rectas tangentes a circunferencias

a) Rectas tangentes a una circunferencia en un punto de ella. Fig. 172.

Sea la circunferencia de centro O y un punto P en ella.
La tangente será perpendicular a la recta que une P con O.

Fig. 172

Unimos el punto P con el centro de la circunferencia O, recta m.
Trazamos una perpendicular por P a m.
b) Rectas tangentes a una circunferencia paralela a una dirección dada. Fig. 173.

Sea la circunferencia de centro O y la dirección d.

Fig. 173

Haciendo centro en O, trazamos una circunferencia que corte a d en los puntos a y b.
Hallamos la mediatriz de ab, que corta a la circunferencia O en los punto m y n.
Las perpendiculares por m y n, nos dará las soluciones.
c) Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P.( primer procedimiento). Fig. 174.
Trazamos la mediatriz de PO₁.
Con centro en m trazamos la circunferencia que pase por P O₁.

T₁ y T₂ serán los puntos de tangencia buscados.

Fig. 174

El triángulo PT₁O y PT₂O, son rectángulos, ya que están inscritos en una circunferencia de centro O, y las rectas t₁ y t₂ son tangentes a la circunferencia de centro O, al ser perpendicular a la cuerda T₁O.
c) Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P.( segundo procedimiento). Fig. 175.

Fig. 175

Trazaremos una circunferencia de radio 2r,
concéntrica con O.
Haciendo centro en P trazamos una circunferencia de radio PO.



Ambas se cortan en los punto a y b. Los unimos con O y quedan determinados los puntos de tangencia T₁ y T₂.

Fig. 176

d) Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P.( tercer procedimiento). Fig. 176.
Con centro en O, se traza una circunferencia que pase por P.
Por c se traza una perpendicular a la recta PO. Esta determina los puntos a y b.
La unión de aO y bO, nos dan los puntos de tangencia
e) Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias: Fig. 177.

Este ejercicio se resuelve por dilataciones,

Fig. 177

Transformándolo en el anterior.

Se le resta a la circunferencia pequeña y  a la grande  el radio de  la menor, convirtiendo esta en un punto.
Trazamos por el procedimiento anterior la tangente desde el punto O₁, a la circunferencia r₂ – r_1. rectas m y n.
Unimos O₂ con B y con C, que nos determinan los puntos de tangencia T₁ y T₂.
Por O₁ trazamos dos paralelas a B T₁ y C T₂, resultando los puntos T’₁ y T’₂. La unión de T’₁ y T₁ determinan la tangente r y T’₂ y T₂ la tangente s.
f) Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias: ( procedimiento de homotecia). Fig. 178.

Fig. 178

Elegimos un punto cualquiera en una de las circunferencias, por ejemplo el punto a.
Unimos a con O₁ y trazamos por O₂ un diámetro paralelo, que serán homotéticos.
Hallamos el centro de homotecia positiva O, prolongado la recta a-b, hasta que corte a la prolongación de O₁-O₂.
Trazamos por O una recta tangente a la circunferencia O₁, que por la propiedad de la
homología lo será también a O₂.
g) Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias: ( procedimiento de potencia). Fig. 179.

El punto de tangencia se podía haber resuelto aplicando la  potencia del punto O con respecto a una de las circunferencias OAA’ o OBB’
Como se ha visto en capítulos anteriores:

Fig. 179

O A * O A’ = P T₁ * P T’₁ = P T₁²
Por ello la media proporcional entre los segmentos OA y OA’, nos dará la solución.
h) Rectas tangentes interiores a dos circunferencias de centro O₁ y O_2. Fig. 180
El ejercicio se resolverá por dilataciones.
Con centro en O₂ trazaremos una circunferencia concéntrica cuyo radio sea la suma de los radios (r + r₁).

Trazaremos la mediatriz del segmento O₁-O₂ y  seguidamente la circunferencia que pase por esos puntos.

Fig. 180

Unimos el centro O₂ con los puntos a y b, que nos determinan los puntos de tangencia T₃, T₄.
Por O₁, trazamos una paralela a la recta O₂-T₄. punto de tangencia T₁.
Por O₁ trazamos una recta paralela a O₂-T₃. punto de tangencia T₂.
1.7. Circunferencias tangentes a circunferencias

a) Circunferencias tangentes a una circunferencia en un punto P de ella, dado el radio de la solución r. Fig. 181.
Se unen los puntos O y P.

Sobre la recta O, P se traslada el radio r. O₁ y O₂ son los centros de las circunferencias solución.

Fig. 181

b) Circunferencias tangentes a una circunferencia que pasen por un punto “P”, dado el radio de la solución. Fig. 182.

Sea la circunferencia de centro O y el punto P.

Lo resolveremos por lugares geométricos
El número 6 dice: El lugar geométrico de todos
los centros de circunferencia de radio R es otra circunferencia  concéntrica con la primera cuyo  radio es la suma y recta de los radios. R + r.
De acuerdo con ello, con centro en O se dibujan las circunferencias de radio R + r y R – r.

Fig. 182

Aplicamos el número 5: El lugar geométrico de Todos los centros de las circunferencias de radio R que pasan por un punto P, se  encuentra en una circunferencia de centro P y de igual radio R.
Con centro en P se dibuja la circunferencia de radio R.
Donde se corten todas las circunferencias todas las auxiliares tendremos los centros C₁, C_2, C_3, C_4, las soluciones.
Seguidamente tendremos que hallar los puntos de tangencia T₁, T₂, T₃, T_4.

Para ello uniremos C₁ con O, obteniendo T_1.
C₃ con O, obteniendo T₃. Y así sucesivamente.
c) Circunferencias tangentes a dos circunferencias C₁ y C₂, conocido el punto
de tangencia en una de ellas. Fig. 183.

Resolveremos el ejercicio por dilataciones y lugares geométricos reduciendo la circunferencia de centro C₂ a un punto y la otra la dilatamos con el valor de su radio radio.
Sean las circunferencias de centros O₁ y O₂ y un punto T en la de centro O₁.

Fig. 183

El centro que buscamos deberá estar situado en la recta que une el centro O₁ con el punto de tangencia T. ( L.G. nº 7 )
Trazamos dos circunferencias concéntricas con O₁, de radio de r + r₁ y  r₁-r . ( L.G. nº 6 )

Unimos el punto de tangencia T con el centro O₁ , recta m, esta nos determinan los puntos t₁ y t₂ . L.G. nº 7.

Ahora se trata de hacer pasar una circunferencia por los puntos t1 y t2,  ( L.G. nº 1) para ello los unimos  con O₂, y seguidamente hallamos la mediatriz de t1-O₂ y de t2 O₂.
Donde la mediatrices cortan a la recta m tendremos los centros que buscamos C₁ y C₂.
El ejercicio finaliza Hallando el punto de tangencia T’ y T” y deshaciendo la dilatación.
d) Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el radio de la solución R. Fig. 184.

Este ejercicio podrá tener desde cero soluciones hasta un máximo de ocho.
Sean las circunferencias de radio r₁ y r₂, siendo  R el de la solución.

Fig. 184

Aplicaremos el sexto lugar geométrico. Haciendo centro en O₁ y con radios (R + r₁)
y (R-r₁), trazamos dos circunferencias.
Con centro en O₂ y con radios ( R + r₂) y ( R-r₂ ), trazamos otras dos circunferencias.
Los puntos donde las circunferencias anteriores se cortan serán los centros de las soluciones. C₁ a C₆.

Los puntos de tangencia se hallaran uniendo C₁ con O₁ y O₂.
1.8. Circunferencias tangentes a circunferencias y rectas.
a) Circunferencias tangentes a una circunferencias y a una recta conocido el punto de tangencia  T en la recta. Fig. 185.

Podemos resolver el ejercicio por varios procedimientos. Aplicaremos el basado en las dilataciones.
Sea la circunferencia de centro O, la recta s, y un punto T en la misma.

Fig. 185

A la circunferencia de centro O, le restamos su propio radio r, reduciéndose a un punto. Dicho radio lo sumamos a la recta s, obteniendo las rectas s’ y s”.
Trazamos una perpendicular por T. El punto de tangencia, ocupará las posiciones T₁ y T₂.
El ejercicio se ha transformado en “ circunferencia tangente a una recta en un punto de ella y que pasa por un punto exterior”. Ejercicio visto con anterioridad.
Las circunferencias con centro en C₁ pasaran por O y T₁ . La de centro C₂ y T₂. Deshacemos las dilatación y Tendremos la solución, hallando previamente los  puntos de tangencia t₁ y t₂.
b) Circunferencias tangentes a una circunferencias y a una recta conocido el punto de tangencia. Fig. 186

Fig. 186

Sea la circunferencia de centro O, la recta t y el punto de tangencia en la circunferencia T.
Teniendo en cuenta el lugar geométrico que hemos numerado como siete, el centro que buscamos debe estar en la recta que une el punto de tangencia T con el centro O.
Todas las circunferencias que pasen por T, tendrán como radical la recta e.
Todas las circunferencias tangentes a la recta t, Tendrán como eje radical la propia recta t. Por tanto Cr, será el centro radical de todas las circunferencias que pasen por T y sean tangentes a la recta t.

Bastará con llevar la distancia de Cr T, sobre la recta t, para obtener los puntos de tangencia T₁ y T₁. Una perpendicular a t, nos determinará los centros C₁ y C₂.
Se podía haber resuelto el problema hallando la bisectriz de los ángulos α y β.
c) Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta s conocido el radio r de las soluciones. Fig. 187.
Resolveremos el problema por lugares geométricos.

Fig. 187

Aplicaremos el lugar geométrico nº 6. Trazamos dos circunferencias concéntricas
con la dada de valor suma y recta de R y r.
Aplicamos el lugar geométrico nº 3.Trazamos dos rectas paralelas a la recta s
dada, a la distancia de r.
Los puntos de intersección de las circunferencias auxiliares de radio R+r
y R-r y las rectas s₁ y s₂, serán los centros de las seis soluciones.
Finalmente hallaremos los puntos de tangencia, uniendo C₁ con O, punto t₁ y
trazando por C₁ una perpendicular a r, punto t₂.

Haremos la misma operación con el resto de los centros.

D) Circunferencias tangentes a tres rectas. Fig. 188.

Fig. 188

Sean las rectas r, s, t, al cortarse forman un triángulo, y ello nos reducirá el
problema a trazar las circunferencias inscritas y esencritas a dicho triángulo.
Dibujamos las bisectrices de los ángulos de las rectas dadas y buscamos los puntos de Intersección C₁, C₂, C₃, C₄.
Los puntos de tangencias se hallaran trazado por los centros C₁, C₂, C₃, C₄. rectas
perpendiculares a las dadas.

Curvas cónicas

Parábola definida por la directriz y dos rectas tangentes
Rectas tangentes a una elipse desde un punto exterior a la curva
Intersección recta-parábola
Intersección de una recta con una elipse
Asintotas de una hipérbola definida por sus focos y un punto P de la misma
Asíntotas de una hipérbola definida por sus focos y una tangente t
Parábola definida por su foco, una tangente y el punto de tangencia
Parábola definida por su foco, una tangente y el eje.
Circunferencias tangentes comunes a una recta y a otra circunferencia, conociendo el punto de tangencia T
Circunferencia tangente a una recta.
Rectas tangentes a una parábola desde un punto exterior a la curva
Circunferencias tangentes comunes a una circunferencia y a dos rectas
Rectas tangentes a una hipérbola desde un punto exterior a la curva

Ejercicios con tangencias:
Ejercicio: Hallar los puntos del plano cuyas tangentes a las circunferencias de centros O y O1 dadas, formen ángulos de 45º y 60º grados respectivamente. Justificar razonadamente los conceptos geométricos utilizados.
Circunferencia tangente a una circunferencia.
Tangencia entre tres circunferencias. 
Trazado geométìco de enlace de circunferencias.
Gancho de grua. 
Dibujo de cuchara.
 
 Trazado del ovoide.. Enlace.
Trazado de un ovoide conocidos su eje mayor y menor. 
Enlaces de arcos de circunferencia.