Algunos teoremas para construir figuras equivalentes:
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012/03/teorema-de-la-bisectriz.html
Figuras equivalentes son las que tienen la misma área siendo distintas.
Para resolver gran parte de los ejercicios es necesario comprender los siguientes teoremas:
En la figura hay 3 triángulos proporcionales (de igual forma pero distinto tamaño): el mayor ADG, el medio CFG y el menor: ABE
El triángulo mayor ADG es igual de forma (proporcional) al menor ABE pues como los 2 son rectángulos (tienen un ángulo de 90º) y el ángulo A es común a los dos, el otro ángulo (en rojo) es igual B=G. El medio CFG también es igual (proporcional) a ambos, pues tiene el G (en rojo) común y otro de 90º, por lo tanto C=A.
Teorema de Thales. Todos los ángulos inscritos periféricos comprendidos en el arco de una semicircunferencia son rectos.
Teorema de la altura: En un triángulo (en gris) un cateto C es a otro A como en el otro triángulo (en rojo dentro del cuadrado), B es a C.
C/A =B/C, de ello se desprende que C.C =A.B
Por tanto, el rectángulo verde es equivalente al cuadrado rojo.
Teorema del cateto: a.a = b. (b+c)
El cuadrado del cateto a es igual al rectángulo determinado por la proyección b del cateto a sobre la hipotenusa y la hipotenusa b+c.
El segmento a es a b, como b+c es a a, ya que los dos triángulos son proporcionales, según se vio en el primer ejercicio. Por tanto, el rectángulo rojo es equivalente al cuadrado verde.
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012/03/teorema-de-la-bisectriz.html
Figuras equivalentes son las que tienen la misma área siendo distintas.
Para resolver gran parte de los ejercicios es necesario comprender los siguientes teoremas:
En la figura hay 3 triángulos proporcionales (de igual forma pero distinto tamaño): el mayor ADG, el medio CFG y el menor: ABE
El triángulo mayor ADG es igual de forma (proporcional) al menor ABE pues como los 2 son rectángulos (tienen un ángulo de 90º) y el ángulo A es común a los dos, el otro ángulo (en rojo) es igual B=G. El medio CFG también es igual (proporcional) a ambos, pues tiene el G (en rojo) común y otro de 90º, por lo tanto C=A.
Teorema de Thales. Todos los ángulos inscritos periféricos comprendidos en el arco de una semicircunferencia son rectos.
Teorema de la altura: En un triángulo (en gris) un cateto C es a otro A como en el otro triángulo (en rojo dentro del cuadrado), B es a C.
C/A =B/C, de ello se desprende que C.C =A.B
Por tanto, el rectángulo verde es equivalente al cuadrado rojo.
Teorema del cateto: a.a = b. (b+c)
El cuadrado del cateto a es igual al rectángulo determinado por la proyección b del cateto a sobre la hipotenusa y la hipotenusa b+c.
El segmento a es a b, como b+c es a a, ya que los dos triángulos son proporcionales, según se vio en el primer ejercicio. Por tanto, el rectángulo rojo es equivalente al cuadrado verde.
Figuras equivalentes: las que tiene el mismo área, siendo distintas
En la figura tenemos 12 cuadrados divididos en cuatro partes iguales. Como las cuatro partes de los cuadrados son iguales de área, tenemos que las figuras interiores son equivalentes, de esta forma todas las figuras azules son iguales entre sí, las rojas también, así como las amarillas y las verdes. Y como cada una de estas es un cuarto del cuadrado, se tiene también que las azules son iguales a las rojas, a las amarillas y a las verdes, en definitiva que todas son iguales de área o equivalentes.
En el cuadrado uno a lo dividimos con dos segmentos ortogonales que pasan por el centro y no hay duda de que los cuatro cuadrados internos son iguales. Si giramos estos dos segmentos con un ángulo cualquiera estando el centro en el del cuadrado, tendremos un caso particular como el de C4, en que las partes siempre saldrán iguales. Un caso particular de éste es el A2. En el A3 tenemos que los cuatro triángulos tienen la misma base y la misma altura, al igual que en el A4. Combinado con este último y el A1, tenemos el B1. En el B2 tomamos la mitad de la figura roja, que tiene por base un cuarto del cuadrado y por altura otro cuarto, con lo que la figura es la mitad, sumando otro trozo igual tenemos la figura completa que es por tanto un cuarto del cuadrado. Lo mismo sucede con la siguiente, la B3. La B4 tiene a figuras con la misma base y la misma altura al igual que la c2. En la C1 tenemos la mitad del caso anterior y la otra mitad dividida entre dos, mientras que en la C3 tenemos la mitad dividida en dos partes y la otra mitad dividida en un rombo azul que se puede fragmentar en los cuatro triángulos amarillos.
Triángulos equivalentes: si tienen la misma base, han de tener la misma altura para que sus áreas sean iguales. Por tanto basta con hacer una horizontal (paralela a la base) y por cualquier punto de esta recta colocar el vértice del nuevo triángulo.
http://curvas-planas.blogspot.com.es/2010/10/cicloide.html
La curva plana que describe un punto fijo situado en una circunferencia,
de manera que gira sobre una recta sin resbalar describe una curva
como con la que vemos en el dibujo, llamada cicloide.
Curiosamente la zona azul tiene la misma área que la circunferencia que
gira y también tiene la misma área que la zona verde. Esto quiere decir
que la área bajo la curva hasta la recta por donde se desplaza la
circunferencia es tres veces la circunferencia desplazada.(La zona azul,
más amarilla, más la verde es tres veces la circunferencia amarilla).
En la parte superior vemos cómo transformar un cuadrado en un triángulo.
Cogemos los puntos medios del cuadrado y los unimos generando el
triángulo amarillo en la parte superior, cogemos el centro de la base de
ese triángulo y lo unimos con los puntos medios de los lados del
cuadrado en su parte inferior, obteniendo el trapezoide de color rojo.
Al terminar estas dos figuras nos quedan otros dos trapezoides, azul y
verde, que al girarlos quedan los vemos en la figura del medio, esto es,
al girarlos 180°.
Desplazando el triángulo amarillo a la parte inferior del trapezoide
rojo obtenemos ya el triángulo equivalente al cuadrado original dado en
la parte superior izquierda del dibujo.
Otra forma de hacerlo es como las tres figuras de la parte inferior:
dividimos el cuadrado en dos rectángulos azul y amarillo, los colocamos
una continuación del otro como en la figura inferior del medio, cogemos
los extremos de las bases y hacemos 2 rectas hasta lo que sería el
centro del cuadrado superior del rectángulo azul original, obteniendo
los triángulos rojos y verdes que como vemos tienen la misma área, de
esta forma podemos construir el triángulo que aparece a la derecha en el
borde inferior, lógicamente es una forma más sencilla que la anterior
de construir un triángulo equivalente a un cuadrado, un triángulo que
tiene el mismo área que el cuadrado.
Se
trata de construir con esta figura dada por su contorno otras
compuestas con figuras iguales en su contorno. Una solución es dividir
la figura en formas geométricas más simples, como por ejemplo estos
triángulos equiláteros.
Podemos
observar una vez que lo tenemos coloreado que los triángulos
equiláteros que tienen distintos colores, amarillo, azul, etc.,
construyen una figura equivalente a la anterior, que quiere decir que
tiene la misma forma que la anterior, aunque de distinto tamaño, podemos
ver que también por la disposición de los triángulos encajan unas en
otras de manera que podemos construir una retícula con figuras como la
dada. En este caso la figura que hemos obtenido tiene 1 área cuatro
veces mayor que la anterior, podríamos seguir construyendo figuras con 1
área mayor.
En la parte derecha vemos como un cuadrado se puede transformar en una cruz, simplemente quitándole los triángulos amarillos y girándolos 180°, de esta forma obtenemos la Cruz.
En el centro podemos observar otra forma de construir un cuadrado equivalente a la Cruz, observamos la división interior y podemos ver en la Cruz que los puntos por donde pasan las dos líneas ortogonales son los centros de los lados de los brazos de la cruz. Los colocamos tal y como aparecen en el dibujo.
En la parte izquierda podemos observar esta misma Cruz y vemos que al coger sus piezas y desplazarlas obtenemos otro cuadrado pero con 1 área doble de la Cruz ya que las cuatro piezas se transforman en ocho.
Se trata de construir una figura que es un número de veces mayor que
otra dada. Por ejemplo, en la figura de la izquierda tenemos un cuadrado
amarillo a del que se pide construir otro b (en color naranja) que sea
dos veces mayor.
Dado un hexágono H en el dibujo uno, se trata de construir un cuadrado equivalente. Construimos un trapecio equivalente T, en el dibujo dos en color azul. A continuación lo transformamos en un triángulo R equivalente al trapecio conforme al número tres, en el dibujo en color rojo. A continuación transformamos el triángulo R en un rectángulo rosa E según el dibujo cuatro. Por último, conforme al teorema del cateto transformamos el rectángulo de color rosa E en un cuadrado de color verde C. En el dibujo seis el hexágono H y el cuadrado C son equivalentes.
Como hemos ido transformando unas figuras en otras manteniendo siempre invariables sus áreas, podemos comprobar en el dibujo cinco que todas las figuras son equivalentes: el hexágono, el trapecio, el triángulo, el rectángulo y el cuadrado.
http://poligonos-regulares.blogspot.com.es/
http://poligonos-regulares-dinamicos.blogspot.com.es/
Se trata de hacer un triángulo equivalente a un círculo. Se podría transformar el círculo en un cuadrado y este en un rectángulo por el método del teorema del cateto y posteriormente transformar el rectángulo en un triángulo. Para ahorrarnos estos pasos vamos a hacerlo directamente: el área del círculo es pi por el radio al cuadrado. El área del triángulo es base por altura partido por dos.
Si tomamos como base del triángulo la longitud de la circunferencia tenemos que es dos por pi por el radio. En consecuencia el área del triángulo es el producto de la base, esto es dos por pi por el radio, por la altura r , a la que le damos el valor del radio y todo ello partido por dos. Tenemos por tanto que el área del triángulo es pi por el radio al cuadrado, igual que el círculo.
Gráficamente podemos visualizar rápidamente quebrados proporcionales: en el círculo de la derecha 12 sectores circulares amarillos son a 16 sectores circulares (los azules más los amarillos) como en la circunferencia de la izquierda seis sectores circulares verdes son a ocho sectores circulares (los naranjas más los verdes). Observamos que el producto de medios es igual al producto de los extremos y que las dos figuras son divididas en fracciones a ¾: los sectores circulares amarillos son respecto a la circunferencia total ¾ de la misma, de la misma forma los sectores circulares verdes son también ¾ de la circunferencia completa. Tenemos en consecuencia que ¾, 6/8 y 12 /16 son elementos proporcionales y equivalentes, existe una relación de proporción entre ¾, 6/8 y 12 /16 y existe una relación de equivalencia: como las circunferencias son iguales, cada par de sectores circulares amarillos es equivalente (tienen el mismo área) a un sector circular verde, de igual forma cuatro sectores circulares amarillos son equivalentes a dos verdes, etc.
Un trapecio ACDE se transforma en un triángulo ACB. Se hace una paralela al segmento CD por él punto E. Donde esta recta paralela corte al segmento AD tenemos el nuevo vértice B del triángulo.
Para transformar cualquier polígono -a la izquierda- en otro que tenga un lado menos-a la derecha-, se toman dos puntos BC de dos lados contiguos y se traza el segmento que pasa por ellos, por el punto A se hace una paralela n al segmento anterior hasta que corte a la prolongación de la recta o -recta que pasa por c. Las rectas m n deben ser siempre paralelas, de esta forma se está transformando un triángulo en otro manteniendo la misma base m y la misma altura, sobre la recta n se coge cualquier punto por el cual se hace una perpendicular a la base m y así tenemos que todas las alturas son iguales.
En la figura de la izquierda ya se pudo demostrar que las tres figuras, el cuadrado, el rectángulo del triángulo, eran equivalentes. Para transformar el cuadrado en un rectángulo dado un segmento a del mismo, se hace un triángulo rectángulo y se toma como hipotenusa el lado del cuadrado, tomamos el lado del rectángulo como un cateto. Hacemos la mediatriz en la hipotenusa y donde corte a la prolongación del cateto a tenemos el centro de la circunferencia que pasa por los vértices cuadrado y cuyo diámetro es el otro lado del rectángulo.
Para determinar un trapecio equivalente a un polígono regular-a la izquierda-, se divide el polígono en triángulos cuyos vértices sean coincidentes en el centro de la figura. A continuación cogemos los triángulos y los disponemos como en la primera figura de la derecha, unos a continuación de otros, de esta forma obtenemos un trapecio.
Podemos construir un rectángulo equivalente si cortamos uno de los triángulos -el rojo- y pasamos el otro trozo a la esquina opuesta, como se puede observar en la tercera figura empezando a contar por la izquierda.
Por último podemos convertirlo en un romboide –a la derecha- si el último trozo rojo del rectángulo lo desplazamos y lo juntamos al otro trozo rojo como en la figura.
Tomamos dos cuadrados, el mediano y el menor de la figura, y los colocamos con una cara anexa y las bases alineadas. Alineamos el vértice superior derecho del mediano y el vértice derecho del menor. Este es el lado del cuadrado cuya área es la suma de los otros dos.
Este teorema chino se puede comprobar al ver las figuras coloreadas: el cuadrado grande está compuesto de las zonas amarillas más 1 trozo naranja y azul que corresponden al cuadrado medio y más 1 trozo del violeta que corresponde al menor. Con ello queda demostrado que el cuadrado grande está formado por la suma de las áreas de los otros.
Para dibujarlo hacemos otro cuadrado (en color azul) y lo colocamos
encima del cuadrado amarillo dado, con lo que tenemos un rectángulo. Por
el teorema del cateto podemos transformar éste rectángulo en un
cuadrado equivalente (con la misma área).
En la figura de la derecha tenemos como dato un cuadrado amarillo c del que se pide construir uno que tenga un área tres veces mayor. Como hicimos en el dibujo anterior, hacemos un rectángulo con el número de cuadrados que van a ser equivalentes al cuadrado mayor, en este caso como el nuevo cuadrado que vamos a calcular es tres veces mayor, tendremos que tener un rectángulo formado por tres cuadrados. Por el teorema del cateto transformamos este rectángulo formado por los tres cuadrados pequeños en el cuadrado de color naranja que tiene un área tres veces mayor que el cuadrado amarillo dado c.
Para hallar un triángulo equivalente a un rectángulo y romboide, hacemos por ejemplo una línea que incida en su vértice A y punto medio de la base B.
Por el punto medio de AB hacemos una paralela h a la base CD. Por D y C hacemos rectas paralelas m y n a AB. La intersección de h con m y n nos determina QR.
CDQR es el romboide equivalente al triángulo ACD.
En la figura de la derecha el triángulo azul (construido con una vertical por D) se puede desplazar hasta C, transformando el romboide original en un rectángulo (en verde).
El teorema de las cuerdasSegún la potencia del punto O respecto a una circunferencia se tiene que el producto a.b=c.d es siempre constante, independientemente de la posición de las secantes:
om.om'=of.of´=K. Por tanto om es a of como of' es a om´, esto es, son proporcionales, de lo que se deduce que siendo las secantes proporcionales entre sí, los rectángulos son siempre equivalentes.
Demostración: http://tangencias-potencia.blogspot.com/
En la figura de la derecha tenemos como dato un cuadrado amarillo c del que se pide construir uno que tenga un área tres veces mayor. Como hicimos en el dibujo anterior, hacemos un rectángulo con el número de cuadrados que van a ser equivalentes al cuadrado mayor, en este caso como el nuevo cuadrado que vamos a calcular es tres veces mayor, tendremos que tener un rectángulo formado por tres cuadrados. Por el teorema del cateto transformamos este rectángulo formado por los tres cuadrados pequeños en el cuadrado de color naranja que tiene un área tres veces mayor que el cuadrado amarillo dado c.
Se trata de construir un cuadrado que es la mitad de otro.
En la figura la izquierda observamos un cuadrado verde claro del que hay
que construir otro que tenga la mitad de área, tomamos el lado de la base AB y
hacemos un arco con este radio hasta que corte a la diagonal AC, en el punto de
corte E obtenemos un punto que unido al extremo del lado A es la nueva diagonal del
cuadrado cuya área vale la mitad del original -cuadrado verde oscuro.
Fundamento: tenemos el cuadrado gris mayor,-a la derecha-, y
construimos cuatro cuadrados que tengan la misma área, para ello hacemos por el
centro dos rectas paralelas a sus lados obteniendo así la división en cuatro
cuadrados iguales, estos cuadrados iguales en color amarillo y rojo los ponemos
alineados tal como se ve en la figura.
En la esquina D1 del cuadrado amarillo superior
hacemos un arco marrón hasta que corte a la prolongación del lado en Z, a
continuación
hacemos una semi circunferencia naranja de centro N1 y y radio N1-Z. Al
prolongar los lados de los
cuatro cuadrados VO obtenemos en la intersección con la
semicircunferencia J, el lado del cuadrado dado lo colocamos en la
posición del cuadrado gris .
Hacemos otro arco siena cuyo centro es D1 y radio D1-S,
tomamos la semi circunferencia rosa cuyo diámetro es D1-N1, al prolongar
los dos
lados de la derecha de los cuadrados rojos obtenemos en la intersección
con la
nueva circunferencia el punto O1, que unido al punto D1, nos determina
el lado del
nuevo cuadrado azul claro que es la mitad del anterior, como podemos ver
el arco de
circunferencia verde de radio D1-N1 intercepta a la diagonal del
cuadrado azul claro según el método de
construcción anterior.
Para hallar un triángulo equivalente a un rectángulo y romboide, hacemos por ejemplo una línea que incida en su vértice A y punto medio de la base B.
Por el punto medio de AB hacemos una paralela h a la base CD. Por D y C hacemos rectas paralelas m y n a AB. La intersección de h con m y n nos determina QR.
CDQR es el romboide equivalente al triángulo ACD.
En la figura de la derecha el triángulo azul (construido con una vertical por D) se puede desplazar hasta C, transformando el romboide original en un rectángulo (en verde).
El teorema de las cuerdasSegún la potencia del punto O respecto a una circunferencia se tiene que el producto a.b=c.d es siempre constante, independientemente de la posición de las secantes:
om.om'=of.of´=K. Por tanto om es a of como of' es a om´, esto es, son proporcionales, de lo que se deduce que siendo las secantes proporcionales entre sí, los rectángulos son siempre equivalentes.
Demostración: http://tangencias-potencia.blogspot.com/
Con el teorema de Ptolomeo podemos construir rectángulos equivalentes:
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com/2012/03/teorema-de-ptolomeo.html
El teorema de Pitágoras gráficamente: La hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, esto es, el área del cuadrado mayor es igual (o equivalente) a la suma de los otros dos. De igual forma el área del cuadrado mayor menos el de otro cuadrado menor es igual al otro cuadrado, etc.
En el caso número uno, si al cuadrado ABCD le restamos cuatro triángulos (en el dibujo en color violeta) tenemos dos cuadrados que en el dibujo aparecen en color azul y rojo.
En el caso número dos, si el mismo cuadrado le restamos los mismos triángulos violetas pero según esta otra disposición, tenemos otro cuadrado que en el dibujo aparece en color amarillo.
En los dos casos como hemos restado únicamente cuatro triángulos violetas al mismo cuadrado hemos obtenido primero dos cuadrados azul y rojo y luego otro cuadrado amarillo, con lo que tenemos que los dos primeros cuadrados y el segundo son equivalentes.
En el caso número tres observamos gráficamente la representación del teorema de Pitágoras que dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, o lo que es lo mismo, que el área del cuadrado azul más el área del cuadrado rojo es igual al área del cuadrado amarillo. En el dibujo verificamos que es cierto, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los catetos, dejando ver en el centro de los tres triángulos el triángulo rectángulo en color blanco.
El triángulo (amarillo más verde) es equivalente a un rectángulo (azul más verde) y a un cuadrado (en violeta). El cuadrado lo es al rectángulo por el teorema del cateto y éste al triángulo por 2 simetrías centrales de cada uno de los triángulos azul y amarillo: cada triángulo azul se transforma en otro amarillo tomando como centro de simetría un vértice del triángulo.
El teorema de Pitágoras por Dudeney
Si hacemos dos rectas perpendiculares que pasen por el centro del cuadrado amarillo y las cuatro partes en que lo dividen las disponemos como en el cuadrado azul, el cuadrado interno que queda en violeta es tal que sumada su área al área del amarillo es igual al área del azul más violeta..
Un rectángulo es equivalente al triángulo por ser los triángulos rojos iguales a los amarillos.
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com/2012/03/teorema-de-ptolomeo.html
El teorema de Pitágoras gráficamente: La hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, esto es, el área del cuadrado mayor es igual (o equivalente) a la suma de los otros dos. De igual forma el área del cuadrado mayor menos el de otro cuadrado menor es igual al otro cuadrado, etc.
En el caso número uno, si al cuadrado ABCD le restamos cuatro triángulos (en el dibujo en color violeta) tenemos dos cuadrados que en el dibujo aparecen en color azul y rojo.
En el caso número dos, si el mismo cuadrado le restamos los mismos triángulos violetas pero según esta otra disposición, tenemos otro cuadrado que en el dibujo aparece en color amarillo.
En los dos casos como hemos restado únicamente cuatro triángulos violetas al mismo cuadrado hemos obtenido primero dos cuadrados azul y rojo y luego otro cuadrado amarillo, con lo que tenemos que los dos primeros cuadrados y el segundo son equivalentes.
En el caso número tres observamos gráficamente la representación del teorema de Pitágoras que dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, o lo que es lo mismo, que el área del cuadrado azul más el área del cuadrado rojo es igual al área del cuadrado amarillo. En el dibujo verificamos que es cierto, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los catetos, dejando ver en el centro de los tres triángulos el triángulo rectángulo en color blanco.
Según el teorema del cateto el cuadrado violeta tiene la misma área que
el rectángulo azul, y como éste tiene la misma que el triángulo amarillo
pues los trozos que quedan en amarillo son como los que quedan en azul
del rectángulo, tenemos que el cuadrado y el triángulo tienen la misma
área.
El triángulo (amarillo más verde) es equivalente a un rectángulo (azul más verde) y a un cuadrado (en violeta). El cuadrado lo es al rectángulo por el teorema del cateto y éste al triángulo por 2 simetrías centrales de cada uno de los triángulos azul y amarillo: cada triángulo azul se transforma en otro amarillo tomando como centro de simetría un vértice del triángulo.
El teorema de Pitágoras por Dudeney
Si hacemos dos rectas perpendiculares que pasen por el centro del cuadrado amarillo y las cuatro partes en que lo dividen las disponemos como en el cuadrado azul, el cuadrado interno que queda en violeta es tal que sumada su área al área del amarillo es igual al área del azul más violeta..
Un rectángulo es equivalente al triángulo por ser los triángulos rojos iguales a los amarillos.
Dado un hexágono H en el dibujo uno, se trata de construir un cuadrado equivalente. Construimos un trapecio equivalente T, en el dibujo dos en color azul. A continuación lo transformamos en un triángulo R equivalente al trapecio conforme al número tres, en el dibujo en color rojo. A continuación transformamos el triángulo R en un rectángulo rosa E según el dibujo cuatro. Por último, conforme al teorema del cateto transformamos el rectángulo de color rosa E en un cuadrado de color verde C. En el dibujo seis el hexágono H y el cuadrado C son equivalentes.
Como hemos ido transformando unas figuras en otras manteniendo siempre invariables sus áreas, podemos comprobar en el dibujo cinco que todas las figuras son equivalentes: el hexágono, el trapecio, el triángulo, el rectángulo y el cuadrado.
http://poligonos-regulares.blogspot.com.es/
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Se trata de hacer un triángulo equivalente a un círculo. Se podría transformar el círculo en un cuadrado y este en un rectángulo por el método del teorema del cateto y posteriormente transformar el rectángulo en un triángulo. Para ahorrarnos estos pasos vamos a hacerlo directamente: el área del círculo es pi por el radio al cuadrado. El área del triángulo es base por altura partido por dos.
Si tomamos como base del triángulo la longitud de la circunferencia tenemos que es dos por pi por el radio. En consecuencia el área del triángulo es el producto de la base, esto es dos por pi por el radio, por la altura r , a la que le damos el valor del radio y todo ello partido por dos. Tenemos por tanto que el área del triángulo es pi por el radio al cuadrado, igual que el círculo.
Gráficamente podemos visualizar rápidamente quebrados proporcionales: en el círculo de la derecha 12 sectores circulares amarillos son a 16 sectores circulares (los azules más los amarillos) como en la circunferencia de la izquierda seis sectores circulares verdes son a ocho sectores circulares (los naranjas más los verdes). Observamos que el producto de medios es igual al producto de los extremos y que las dos figuras son divididas en fracciones a ¾: los sectores circulares amarillos son respecto a la circunferencia total ¾ de la misma, de la misma forma los sectores circulares verdes son también ¾ de la circunferencia completa. Tenemos en consecuencia que ¾, 6/8 y 12 /16 son elementos proporcionales y equivalentes, existe una relación de proporción entre ¾, 6/8 y 12 /16 y existe una relación de equivalencia: como las circunferencias son iguales, cada par de sectores circulares amarillos es equivalente (tienen el mismo área) a un sector circular verde, de igual forma cuatro sectores circulares amarillos son equivalentes a dos verdes, etc.
Un trapecio ACDE se transforma en un triángulo ACB. Se hace una paralela al segmento CD por él punto E. Donde esta recta paralela corte al segmento AD tenemos el nuevo vértice B del triángulo.
Para transformar cualquier polígono -a la izquierda- en otro que tenga un lado menos-a la derecha-, se toman dos puntos BC de dos lados contiguos y se traza el segmento que pasa por ellos, por el punto A se hace una paralela n al segmento anterior hasta que corte a la prolongación de la recta o -recta que pasa por c. Las rectas m n deben ser siempre paralelas, de esta forma se está transformando un triángulo en otro manteniendo la misma base m y la misma altura, sobre la recta n se coge cualquier punto por el cual se hace una perpendicular a la base m y así tenemos que todas las alturas son iguales.
En la figura de la izquierda ya se pudo demostrar que las tres figuras, el cuadrado, el rectángulo del triángulo, eran equivalentes. Para transformar el cuadrado en un rectángulo dado un segmento a del mismo, se hace un triángulo rectángulo y se toma como hipotenusa el lado del cuadrado, tomamos el lado del rectángulo como un cateto. Hacemos la mediatriz en la hipotenusa y donde corte a la prolongación del cateto a tenemos el centro de la circunferencia que pasa por los vértices cuadrado y cuyo diámetro es el otro lado del rectángulo.
Para determinar un trapecio equivalente a un polígono regular-a la izquierda-, se divide el polígono en triángulos cuyos vértices sean coincidentes en el centro de la figura. A continuación cogemos los triángulos y los disponemos como en la primera figura de la derecha, unos a continuación de otros, de esta forma obtenemos un trapecio.
Podemos construir un rectángulo equivalente si cortamos uno de los triángulos -el rojo- y pasamos el otro trozo a la esquina opuesta, como se puede observar en la tercera figura empezando a contar por la izquierda.
Por último podemos convertirlo en un romboide –a la derecha- si el último trozo rojo del rectángulo lo desplazamos y lo juntamos al otro trozo rojo como en la figura.
Tomamos dos cuadrados, el mediano y el menor de la figura, y los colocamos con una cara anexa y las bases alineadas. Alineamos el vértice superior derecho del mediano y el vértice derecho del menor. Este es el lado del cuadrado cuya área es la suma de los otros dos.
Este teorema chino se puede comprobar al ver las figuras coloreadas: el cuadrado grande está compuesto de las zonas amarillas más 1 trozo naranja y azul que corresponden al cuadrado medio y más 1 trozo del violeta que corresponde al menor. Con ello queda demostrado que el cuadrado grande está formado por la suma de las áreas de los otros.
El triángulo ABCD es equivalente al trapecio MNÑO. El romboide de la izquierda está formado por triángulo y trapecio que se transforma con una diagonal en otra figura igual mediante una simetría central. El trapecio ÑPCD es igual a la base del trapecio que acota el triángulo mayor.
Trapecio equivalente a rectángulo y a triángulo. Una forma fácil de hacer figuras semejantes es dividir los lados de la original en partes iguales, de esta forma es más fácil que encajen los trozos para formar con ellos figuras nuevas.
En la figura observamos una forma de componer figuras equivalentes:
triangular formas polígonales y construir con ellas nuevas formas.En verde, rombo, romboide, trapecio y rectángulo son equivalentes por estar compuestas de los mismos triángulos rectángulos. El rectángulo rojo más verde ofrece otra posibilidad, la de construir áreas de otras proporciones, como doble en este caso.
Una forma de construir figuras equivalentes es hacer particiones de la siguiente forma: el rectángulo de la izquierda lo vamos a transformar en un trapecio, para ello lo dividimos en cuatro partes de las que son iguales dos y otras dos entre sí. Esta división nos genera un trapecio gris +1 triángulo rojo que lo giramos hasta situarlo sobre la base menor del trapecio. Para que el triángulo rojo tenga la misma pendiente que el trapecio ha de tener los 2 catetos iguales. Desplazamos a continuación el rectángulo amarillo sobre el azul ya que su partición era equitativa.
En la figura 1, el trapecio y pentágono son equivalentes pues los triángulos ADN y DBA, y AGE y AME tienen la misma base y altura por lo que sus áreas son iguales. En la figura 2, pentágono y triángulo son equivalentes por la misma razón.
En esta figura formada por segmentos rojos y verdes podemos observar una
explicación más intuitiva del ejercicio anterior. A la izquierda
tenemos que los segmentos rojos y verdes unidos forman 9 segmentos de
mayor dimensión que los 10 de la figura de la derecha. Tomamos la figura
de la izquierda y cogemos el triángulo inferior de segmentos verdes y
hacemos un desplazamiento del triángulo, conseguimos por tanto la figura
de la derecha en la que la suma de los segmentos rojos más los verdes
tienen menor dimensión, pero como no puede bajar la longitud total de la
suma de los segmentos ya que siguen existiendo todos, aparece uno más
para compensar la pérdida en su longitud.
Como el área de un círculo es el radio al cuadrado por 3,14 y el de la elipse es el semidiámetro mayor por el semidiámetro menor por 3,14, tenemos que si queremos hacer una elipse equivalente a un círculo, igualamos las áreas a.b.pi=r.r.pi, a.b=r.r y tenemos que el radio del círculo es igual al producto de los semidiámetros de la elipse dividido entre el radio. R=a.b/r, P.ej.: r=8.2/4, r=4
Por ejemplo, 4 × 4 = 16 y 8 x 2 = 16 el producto de dos semidiámetros 8 2 igual al producto de los radios 4 4. De la figura se desprende también que por ser común la zona blanca, el trozo azul tiene el mismo área que el trozo amarillo.
En la figura B tenemos un hexágono regular en el que los 2 triángulos superiores e inferiores se transforman en un rectángulo respectivamente -figura A. Tenemos en consecuencia un hexágono regular equivalente a un rectángulo. En la figura C directamente se cogen los triángulos del borde inferior y se trasladan a la parte superior, obteniendo así la misma figura.
el lado del cuadrado es media proporcional entre los lados del rectángulo: el lado menor del rectángulo es al lado del cuadrado como el lado del cuadrado es al lado mayor del rectángulo. Éste detalle que corresponde al teorema de la altura se puede observar en la figura ya que el lado menor del rectángulo está girado y pasa a ser el cateto menor del triángulo que tiene por cateto mayor el lado del cuadrado. Este cateto mayor se transforma en el menor del triángulo rectángulo cuyo cateto mayor es el lado mayor del rectángulo.
Para que el círculo tenga el mismo área que el cuadrado, igualamos las áreas. Despejando observamos que el lado del cuadrado es media proporcional entre el radio y entre el radio multiplicado por pi. En consecuencia cogemos como diámetro de la circunferencia gris dos dimensiones, la que corresponde al radio, y la que corresponde al radio por 3,14. En la separación de estas dos magnitudes levantamos una vertical hasta que corte a la semicircunferencia. Ese segmento vertical es el lado del cuadrado que es equivalente al círculo.
Gráficamente tenemos aquí el teorema de Pitágoras. De la misma forma los círculos inscritos en los cuadrados cumplen la misma condición que los cuadrados en el teorema: el área sumada de los dos círculos menores B C es igual al área del círculo mayor A.
Teorema de Pappus.
Dado un triángulo amarillo a, se trata de construir sobre dos de sus
lados, dos paralelogramos bc y obtener otro m cuya área sea la suma de
los dos anteriores. Dibujamos los paralelogramos, y prolongamos sus
lados superiores rs hasta que se corten en un punto T, por éste trazamos
una recta que pase además por V, vértice superior del triángulo a.
Por la base del triángulo trazamos en sus extremos JK rectas paralelas a
la anterior VT, donde éstas cortan a los lados sr del paralelogramo,
obtenemos YL por donde pasa el lado superior m del paralelogramo que
queríamos obtener. Unimos sus extremos YL con JK y ya tenemos la figura
m.
La figura m es equivalente a la suma de los paralelogramos bc.
Demostración: en el dibujo uno trazamos los paralelogramos y
prolongamos sus lados superiores, de esta manera obtenemos en el dibujo
número dos otros dos paralelogramos que son equivalentes a los
anteriores por tener la misma área: el amarillo es equivalente al de
color rosa y el verde es equivalente al de color azul. Por último en el
apartado tres obtenemos otros dos paralelogramos en color violeta y
marrón que son respectivamente equivalentes a los dos últimos, ya que
tienen la misma base y la misma altura. En consecuencia, si sumamos las
áreas de los paralelogramos amarillo y verde son exactas a los
paralelogramos violeta y marrón, que es lo que se quería demostrar.
Vamos a construir un cuadrado amarillo Y cuya área sea el doble que el área de otro verde X.
Dado el cuadrado de color verde X construimos el cuadrado BFGH transformando el anterior mediante un giro de vértice B.
Si unimos otro cuadrado igual FGQU al cuadrado BFGH tenemos un rectángulo cuya área es el doble del cuadrado y mediante el teorema del cateto un rectángulo equivalente al cuadrado amarillo Y. Este rectángulo tiene el doble de área que el cuadrado anterior por lo tanto el cuadrado amarillo Y equivalente al rectángulo tiene el doble de área que el original X, y esto es lo que se quería encontrar.
El cuadrado verde es equivalente al rectángulo morado según el teorema del cateto, pero éste es equivalente al cuadrado BFGH por ser igual al cuadrado X. El doble del área BFGH es un rectángulo equivalente BHQU a un cuadrado Y que tiene también el doble del área al cuadrado original X. En consecuencia el rectángulo azul BHQU tiene también el doble de área que el rectángulo morado BWPT.
Observamos que al trasladar mediante un giro de centro B los dos segmentos BP y BQ obtenemos las dos diagonales de los dos cuadrados X Y. Pero la diagonal del cuadrado menor BÑ es igual al lado del cuadrado mayor BJ, por tanto para hacer el ejercicio según el dibujo de la derecha, si nos dan el cuadrado amarillo BMNO basta con hacer la diagonal d y con centro en el vértice B hacemos un arco a que corta a ésta en el punto D, obteniendo así el vértice del cuadrado verde ABCD homotético al anterior.
¿Qué porción de área le falta al cuadrado rojo para ser un cuadrado completo? La solución se ve en la figura, como le falta un trozo en ángulo recto, podemos imaginarnos un cuadrado amarillo de igual tamaño sobre el que proyectamos el centro del cuadrado rojo sobre la base para obtener el triángulo amarillo. Como éste es igual al triángulo rojo por tener los lados iguales y el triángulo rojo más el trapecio amarillo forman un cuadrado que es ¼ del cuadrado rojo si estuviera completo, tenemos que al cuadrado rojo le falta ¼ para estar completo.
¿Que porción de área posee el cuadrado interno respecto al externo? La
solución se puede obtener mediante un giro como podemos observar en la
figura siguiente.
Sí giramos 45º el cuadrado interior observamos que por estar en la
circunferencia inscrita en el mayor, sus vértices caen en la mitad de
los lados, de ahí que sea un rombo que podemos dividir en 4 partes,
iguales a las que quedan para llenar el cuadrado mayor. Por tanto el
cuadrado menor tiene la mitad de área que el mayor.
¿Qué área posee la forma superior? La solución en la figura de abajo:
su área es la del cuadrado amarillo ya que está formado por dos
semicircunferencias más el área del cuadrado menos una circunferencia.
¿Qué relación de proporción hay entre el cuadrado verde y el amarillo? La solución está en el siguiente dibujo.
Las teselas que forman los cuadrados amarillos pueden componer cuatro
iguales al verde, por lo que el cuadrado verde es un quinto del cuadrado
mayor amarillo.
Dada la ecuación de la parábola y = x 2 acotada por la recta y=4 , se pide calcular una circunferencia que tenga la mismo área y cuyo centro tenga de coordenadas (6,4).
Para calcular el área hacemos la integral entre los límites 2, -2, -blog de cálculo integral- , que
son los puntos de intersección de la recta con la parábola. Para
calcularlos resolvemos el sistema de ambas ecuaciones, la de la curva y
la de la recta, (mirar cálculo de puntos de intersección).
El área de la parábola acotada quedará determinada por la integral definida entre 2 y -2 de (x 2 -
4). (Segundo miembro de la ecuación de la curva parabólica menos el
segundo miembro de la ecuación de la recta vertical que pasa por la
ordenada cuatro).
Para calcular la integral simplemente
sumamos una unidad al exponente de la variable x y dividimos la
expresión por un número igual al exponente calculado. por ejemplo, al
aplicar la integral de x 2
A continuación le restamos la integral de la constante cuatro:
4x 0+1 / (0 + 1), obteniendo 4x, para ello sumamos también 1 unidad al exponente x y dividimos la expresión por un número igual al exponente calculado.
Aplicamos a continuación la integral definida entre 2 y -2 de la diferencia de ambos términos:
x 3 /3 - 4x
Para ello tomamos la expresión anterior y sustituimos en x el valor 2 y a continuación le restamos la misma expresión sustituyendo en x el valor -2, obteniendo de esta forma el área de la parábola cuyo valor es 10,6 unidades cuadradas.
Para hacer un círculo con el área equivalente,tenemos que su área debe ser igual a la de la parábola, 10,6, por tanto igualamos este número a pi por el radio al cuadrado, de esta manera obtenemos al despejar el radio su valor, que es 1,8.
La ecuación de la circunferencia será x menos la coordenada en x que es seis, todo ello al cuadrado más la variable y menos la coordenada en y que es cuatro, todo ello al cuadrado, ambos términos sumados deben ser igual al radio al cuadrado 1,8 2, esto es, a 3,35. (Expresión verde del borde superior derecho del dibujo).
Figuras equivalentes : Cuadrado equivalente [I]
Las figuras geométricas pueden compararse entre sí tomando como referencia para esta comparación tanto su forma como su tamaño.
Estas clasificaciones tienen utilidad al
facilitar su comprensión y manipulación, ya que permiten agrupar las
transformaciones que se efectúan sobre ellas en función de criterios
estructurados.
En base a las diferentes combinaciones que podemos encontrar en estas comparaciones las clasificaremos en:
- Formas semejantes: Tienen igual forma pero diferente tamaño
- Formas equivalentes: Tienen diferente forma pero igual tamaño (Área o Volumen)
- Formas congruentes: Tienen igual forma y tamaño (son iguales)
En geometría plana dos figuras
equivalentes son las que tienen igual área, por lo que para obtener una
figura equivalente a otra dada deberemos igualar las expresiones de sus
respectivas áreas.
Area figura 1 = Area figura 2
Esta expresión servirá de base para el estudio de esta relación. Ya que relaciona formas cuadráticas nos serán de utilidad los teoremas de la altura y el cateto, así como las construcciones derivadas del concepto de potencia; Estos modelos nos resolverán la obtención de medias proporcionales.
Dividiremos el estudio de la equivalencia entre formas geométricas en tres estadios diferenciados:
- Introducción al concepto
- Obtención del cuadrado equivalente a una forma dada
- Obtención de una forma equivalente a otra dada.
Introducción al concepto de equivalencia entre figuras
En la figura siguiente vemos un conjunto
de triángulos equivalentes. Todos ellos comparten la base (b), y tienen
la misma altura (h) ya que dos de sus vértices son comunes (B y C) y el
tercero se encuentra en todos ellos sobre una recta paralela a la base,
a distancia h, por lo que su área es en todos los casos b*h/2 (base por
altura entre dos).
Triángulos equivalentes
Cuadrado equivalente a un triángulo
Para determinar el área equivalente de
la de un triángulo realizaremos una construcción que nos permita obtener
una media proporcional, relacionando este área con la equivalente de un
cuadrado. De esta forma obtendremos el lado “l” de un cuadrado que
tenga el mismo área que el triángulo dado.
Podremos utilizar cualquiera de las
construcciones que utilizan formas cuadráticas, como las derivadas del
concepto de potencia o los teoremas de la altura y el cateto que se
obtienen a partir de la geometría del triángulo rectángulo.
Si utilizamos el teorema del cateto, la construcción será similar
Se incluye por último la construcción por potencia
Cuadrado equivalente a un polígono
Para determinar el cuadrado equivalente a
un polígono lo reduciremos a un triángulo, eliminando vértices que
serán sustituidos por otros que mantengan el área pero reduzcan el
número de lados.
Por ejemplo, reduciremos el siguiente cuadrilátero a un triángulo
Para ello usaremos una diagonal que deje
a un lado un único vértice. (en un cuadrilátero vale cualquiera, en un
polígono en general no). Por el vértice que ha quedado aislado del resto
(P4) trazaremos una paralela a la diagonal (P1-P3)
La idea es sustituir el triángulo
P1-P3-P4 por otro de igual área pero que tenga su vértice en la
prolongación de uno de los lados del polígono. Usaremos el punto P5 para
sustituir al P4 de forma que el nuevo triángulo comparte la base con el
anterior (P1-P3) y tiene la misma altura ya que el vértice se encuentra
en la paralela a la base que pasa por P4.
El nuevo polígono cuenta con un lado
menos. Una vez reducido el número de lados a tres, resolveremos como
hemos visto en el caso anterior.
Cuadrado equivalente a un rectángulo
Veamos a continuación cómo determinar el lado de un cuadrado equivalente a un rectángulo de base “b” y altura “a”
El área del rectángulo se obtiene
multiplicando la base por la altura, y ésta debe ser igual al cuadrado
del lado “l” del cuadrado equivalente.
En este caso vamos a utilizar el teorema
de la altura, aunque podríamos igualmente usar el del cateto o el
modelo basado en el concepto de potencia, como en los casos anteriores.
Para completar la construcción
obtendremos mediante un giro la base del cuadrado buscado a partir del
lado que usaremos como altura.
Cuadrado equivalente a un círculo
La relación de equivalencia no se podrá establecer de forma exacta en todos los casos, como es el de “la cuadratura del círculo“, pero lo podremos abordar con suficiente aproximación.
Se denomina cuadratura del círculo al
problema matemático, irresoluble de geometría, consistente en hallar
—con sólo regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a
la de un círculo dado. Sólo se puede calcular por el método de
repeticiones sucesivas.
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la “cuadratura del círculo” cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.(W)
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la “cuadratura del círculo” cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.(W)
Método 1
Una aproximación al número Pi es la suma de la raíz de dos y la raíz de tres, 3.14626436994 que nos da un error de 0.0046
Podemos calcular gráficamente estos segmento a partir de triángulos rectángulos sobre la circunferencia.
Giraremos estos segmentos para situarlos sobre una recta que servirá para la construcción de media proporcional.
Si aplicamos el teorema de la altura
entre R y raíz de dos mas raíz de tres por R obtendremos el lado del
cuadrado equivalente buscado, con la precisión que hemos comentado
anteriormente.
Método 2
Aunque existen muchos métodos, con
diferentes aproximaciones, comentaremos sólo uno más para cerrar esta
sección, dejando al lector la interesante tarea de descubrir otros con
mayor o menor aproximación.
En este caso aproximaremos el número Pi como 22/7 = 3.14285714286 lo que nos da un error de 0.0012.
Tomaremos un segmento de longitud R y
otro de longitud R*22/7 para obtener el lado del cuadrado como media
proporcional entre ambos. Una posible construcción es la que sigue, en
la que se aprecia cómo se divide el radio en 7 partes y cómo se giran
los segmentos para construir la media mediante el teorema de la altura.
Se deja al lector el análisis detallado de la construcción.
